【軌道力学入門】二体問題における保存量【第2弾】

航空宇宙工学を専攻する東大院生が，軌道力学の要点・エッセンスをご紹介するシリーズの第２弾！軌道力学を学び始めた方にとって，専門書はハードルが高いですよね・・筆者がこれまで実際に学習した中でここは！という要点をギュッと詰めました．サクッと，でもきちんと学びたい方必見です．

さて今回は第２弾です．

第1弾はこちら．

二体問題においては，保存量が存在します．

ひとつは，力学的エネルギー，もうひとつは，角運動量です．

二体問題の支配方程式は以下でした．

が，中心天体に対する周回天体の位置ベクトル，はその大きさすなわち距離です．は，中心天体を中心とする重力定数で，中心天体の質量と万有引力定数の積で表されます．地球が中心なら，地心重力定数なんてよんだりします．ちなみに，程度です．

さて，この式を用いて，保存量を見つけ出しましょう．

力学的エネルギーの保存

ではまず，天下り的ですが，を，両辺に内積的に掛け算します．

ここで，となることを利用します．

（この式が成り立つのは，の微分が，

となることより明らかです．）

このようにかけます．

さらにここで，

であったことと，

を考えると，

を得ます．

さて，としましょう．

上式はつまり，カッコ内が時間変化に対して一定，すなわち定数であることを表しているので，

となって，これが，力学的エネルギーの保存を表しています．別の流儀では，以下のように書き表すことも多いです．

続いて，今度は，を，両辺に外積的に掛け算します．

すると

となります．

同じベクトルの外積は定義上０ベクトルなので，

となります．

ここで，

であるから，

であることがわかります．

これは，位置ベクトルと速度ベクトルの外積の結果生じるベクトル＝角運動量ベクトルが，時間変化しないことを表しています．

したがって，角運動量ベクトルが保存することが言えます．

これは，ちょうど高校物理で習う，ケプラーの第二法則，面積速度一定の法則に相当します．

今回は，2体の軌道運動で重要な保存則を運動方程式から導出しました．

この導出を理解することにどれほどの価値があるか，と問われると困りますが笑

ベクトルのテクい計算や微積分がいくつか出てきました．ベクトルについては，三次元程度であれば，簡単に成分計算で確認できるので，練習がてら計算してみてください！

微積もこの辺りはすんなり使いこなせないと，やはり，応用工学は苦しいです．数学的な正当性の理解は後回しでも最悪良いので，使いこなせるようにしておきましょう．

次は，ケプラーおじさんが，ニュートンの力学が成立する前から，惑星の運動ってこうなんじゃね？って定式化してたもの＝飛行軌道方程式が，やはり正しいんだということをニュートン力学から導いてしまいましょう．