飛行軌道方程式の導出

二体問題の支配方程式は以下でした．

$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{\ddot{r}}+\frac{\mu}{r^3}\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}\end{eqnarray*}$

$\overrightarrow{r}$ が，中心天体に対する周回天体の位置ベクトル， $r$ はその大きさすなわち距離です． $\mu$ は，中心天体を中心とする重力定数です．

この式と，角運動量保存則である．

$\begin{eqnarray*}\frac{d}{dt}\left(\overrightarrow{r}\times\overrightarrow{\dot{r}}\right)=\overrightarrow{0}\\ \overrightarrow{r}\times\overrightarrow{\dot{r}}=h\end{eqnarray*}$

を用います． $h$ は角運動量を表す定数ベクトルです．

二体問題の方程式と $h$ との外積をとると，

$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{\ddot{r}}\times \overrightarrow{h}+\frac{\mu}{r^3}\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{h}=\overrightarrow{0}\end{eqnarray*}$

左辺は，

$\begin{eqnarray*}&&\overrightarrow{\ddot{r}}\times \overrightarrow{h}+\frac{\mu}{r^3}\overrightarrow{r}\times \left(r\times\dot{r}\right)\\&=&\overrightarrow{\ddot{r}}\times \overrightarrow{h}+\frac{\mu}{r^3}\overrightarrow{r}\times \left\[\left(\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{\dot{r}}\right)r-\left(\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{r}\right)\overrightarrow{\dot{r}}\right\]$

$\begin{eqnarray*}&=&\overrightarrow{\ddot{r}}\times \overrightarrow{h}+\frac{\mu}{r^2}\left(\dot{r}\overrightarrow{r}-r\overrightarrow{\dot{r}}\right)\\ &=&\frac{d}{dt}\left(\overrightarrow{\dot{r}}\times\overrightarrow{h}-\mu \frac{\overrightarrow{r}}{r} \right) \end{eqnarray*}$

となるので，

$\begin{eqnarray*}\frac{d}{dt}\left(\overrightarrow{\dot{r}}\times\overrightarrow{h}-\mu \frac{\overrightarrow{r}}{r} \right) =\overrightarrow{0} \end{eqnarray*}$

両辺を積分すると，

$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{\dot{r}}\times\overrightarrow{h}-\mu \frac{\overrightarrow{r}}{r} =\overrightarrow{0} =const. = \overrightarrow{L} \end{eqnarray*}$

を得ます．これが，飛行軌道方程式です． $\overrightarrow{L}$ は保存ベクトルであり，ラプラスベクトルと呼ばれます．

さらにここで，ラプラスベクトル $\overrightarrow{L}$ と $\overrightarrow{r}$ の内積をとると，

$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\cdot\left(\overrightarrow{\dot{r}}\times\overrightarrow{L}\right)-\mu r =\overrightarrow{h}\cdot\left(\overrightarrow{r}\times\overrightarrow{\dot{r}}\right)-\mu r = h^2 -\mu r \end{eqnarray*}$