【軌道力学入門】飛行軌道方程式の導出【第3弾】

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【軌道力学入門】二体問題における保存量【第2弾】
さて第二弾です. 第1弾はこちら. 二体問題においては,保存量が存在します. ひとつは,力学的エネルギー,もうひとつは,角運動量です. 二体問題の支配方程式は以下でした. が,中心天体に対する周...

 

飛行軌道方程式の導出

 

二体問題の支配方程式は以下でした.

    \begin{eqnarray*}\overrightarrow{\ddot{r}}+\frac{\mu}{r^3}\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}\end{eqnarray*}

$\overrightarrow{r}$が,中心天体に対する周回天体の位置ベクトル,rはその大きさすなわち距離です.\muは,中心天体を中心とする重力定数です.

この式と,角運動量保存則である.

    \begin{eqnarray*}\frac{d}{dt}\left(\overrightarrow{r}\times\overrightarrow{\dot{r}}\right)=\overrightarrow{0}\\ \overrightarrow{r}\times\overrightarrow{\dot{r}}=h\end{eqnarray*}

を用います.hは角運動量を表す定数ベクトルです.

二体問題の方程式とhとの外積をとると,

    \begin{eqnarray*}\overrightarrow{\ddot{r}}\times \overrightarrow{h}+\frac{\mu}{r^3}\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{h}=\overrightarrow{0}\end{eqnarray*}

左辺は,

    \begin{eqnarray*}&&\overrightarrow{\ddot{r}}\times \overrightarrow{h}+\frac{\mu}{r^3}\overrightarrow{r}\times \left(r\times\dot{r}\right)\\&=&\overrightarrow{\ddot{r}}\times \overrightarrow{h}+\frac{\mu}{r^3}\overrightarrow{r}\times \left\[\left(\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{\dot{r}}\right)r-\left(\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{r}\right)\overrightarrow{\dot{r}}\right\]

    \begin{eqnarray*}&=&\overrightarrow{\ddot{r}}\times \overrightarrow{h}+\frac{\mu}{r^2}\left(\dot{r}\overrightarrow{r}-r\overrightarrow{\dot{r}}\right)\\ &=&\frac{d}{dt}\left(\overrightarrow{\dot{r}}\times\overrightarrow{h}-\mu \frac{\overrightarrow{r}}{r} \right) \end{eqnarray*}

となるので,

    \begin{eqnarray*}\frac{d}{dt}\left(\overrightarrow{\dot{r}}\times\overrightarrow{h}-\mu \frac{\overrightarrow{r}}{r} \right)  =\overrightarrow{0} \end{eqnarray*}

両辺を積分すると,

    \begin{eqnarray*}\overrightarrow{\dot{r}}\times\overrightarrow{h}-\mu \frac{\overrightarrow{r}}{r}   =\overrightarrow{0} =const. = \overrightarrow{L} \end{eqnarray*}

を得ます.これが,飛行軌道方程式です.\overrightarrow{L} は保存ベクトルであり,ラプラスベクトルと呼ばれます.

さらにここで,ラプラスベクトル \overrightarrow{L}  と\overrightarrow{r} の内積をとると,

    \begin{eqnarray*}\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\cdot\left(\overrightarrow{\dot{r}}\times\overrightarrow{L}\right)-\mu r   =\overrightarrow{h}\cdot\left(\overrightarrow{r}\times\overrightarrow{\dot{r}}\right)-\mu r = h^2 -\mu r \end{eqnarray*}

よって,右辺を両ベクトルのなす角f を用いて表して,

    \begin{eqnarray*}r&=&\frac{h^2}{\mu+L\cos f} \\ &=&\frac{p}{1+e\cos f} \end{eqnarray*}

とできる.p=h^2/\mue=L/\mu  とおきました.

これは,円錐曲線として有名です.

ここが重要ですが,離心率e と円錐曲線によって描かれる曲線の関係は以下のようになります.

今回は軌道の超基本方程式である,飛行軌道方程式を導出しました.次回以降はこのそれぞれの軌道種についてみていきます!

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