【流体力学入門】流れ関数【第6弾】

航空宇宙工学を専攻する東大院生が，流体力学の要点・エッセンスをご紹介するシリーズの第6弾！流体力学を学び始めた学部生や社会人の方にとって，専門書はハードルが高い．学問では，まず概観をしっかりつかんでおくのが重要だと思っています．筆者がこれまで実際に学習した中でここは！という要点をギュッと詰めました．

今回は，流れ関数です．

第5弾は，こちら

流れ関数

流れ関数は，流量を尺度とする関数

ここからは，二次元，定常，非圧縮の仮定で考えていきます．

流れの2点間の体積流量は流れ関数の差なので，

$$\Delta \psi = V \Delta n$$

したがって，

$$V = \lim_{\Delta n \to 0} \frac{\Delta \psi}{\Delta n} = \frac{\partial \psi}{\partial n}$$

任意の点の流速は$ \psi $を$n $で微分することで求まる.

$$\begin{eqnarray*}
V \Delta n &= u dy – v dx \\
d \psi &= u dy – v dx
\end{eqnarray*}$$

$\psi = \psi(x, y) $（位置の関数）なので全微分すると

$$d \psi = \frac{\partial \psi}{\partial x} dx + \frac{\partial \psi}{\partial y} dy$$

これより,

$$\begin{eqnarray*}
u &= \frac{\partial \psi}{\partial y} \\
v &= -\frac{\partial \psi}{\partial x}
\end{eqnarray*}$$

流れ関数と速度ポテンシャル

$$\psi(x, y): \quad d\psi = udy – vdx$$

$$u = \frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad v = -\frac{\partial \psi}{\partial x}$$

$$\phi(x, y): \quad \int u dx + v dy = \phi$$

$$u = \frac{\partial \phi}{\partial x}, \quad v = \frac{\partial \phi}{\partial y}$$

—

$$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y}$$

Cauchy-Riemann equations

—

$$\text{grad} \phi = \begin{pmatrix} \frac{\partial \phi}{\partial x} \\ \frac{\partial \phi}{\partial y} \end{pmatrix}, \quad \text{grad} \psi = \begin{pmatrix} \frac{\partial \psi}{\partial x} \\ \frac{\partial \psi}{\partial y} \end{pmatrix}$$

$$\text{grad} \phi \cdot \text{grad} \psi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial \psi}{\partial x} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \frac{\partial \psi}{\partial y} = 0$$

$\text{grad} \phi $と$\text{grad} \psi $は 直交する。$\text{grad} \phi = {\rm const}$線, $\text{grad} \psi = {\rm const}$線

$\Rightarrow$等ポテンシャル線と流線は直交する。

—

複素速度ポテンシャル

複素関数の性質

$$F(z) = g(x + iy) + ih(x + iy) $$
が微分可能であるためには、

$$F'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{F(z + \Delta z) – F(z)}{\Delta z}$$

は、複素平面上で $\Delta z $をどの方向から0に近付けても有限で同一の値をとらなければならない。

$\Delta z = \Delta x + i \Delta y$であるから

(i) $\Delta z = \Delta x, \Delta y = 0$

(ii) $\Delta z = i \Delta y, \Delta x = 0$の場合を考えることにする。

(i)
$$\begin{eqnarray*}F'(z)
&=& \lim_{\Delta z \to 0} \left[ \frac{g(x + \Delta x, y) – g(x, y)}{\Delta x} + i \frac{h(x + \Delta x, y) – h(x, y)}{\Delta x} \right] &=& \frac{\partial g}{\partial x} + i \frac{\partial h}{\partial x}\end{eqnarray*}$$

(ii)
$$\begin{eqnarray*}F'(z)
&=& \lim_{\Delta z \to 0} \left[ \frac{g(x, y + \Delta y) – g(x, y)}{i \Delta y} + i \frac{h(x, y + \Delta y) – h(x, y)}{i \Delta y} \right] &=& -i \frac{\partial g}{\partial y} + \frac{\partial h}{\partial y}
\end{eqnarray*}$$

これより,

$$\frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial h}{\partial y}, \quad \frac{\partial h}{\partial x} = -\frac{\partial g}{\partial y}$$

コーシー・リーマンの式

—

$F(z) = g(x, y) + i h(x, y) $が微分可能であるための正則関数となるための条件。

そこで,

$$W(z) = \Phi(x, y) + i \Psi(x, y)$$

と考える。$W(z)$を Complex Velocity Potential とよぶが、正則関数である。

—

$$\frac{\partial W}{\partial z} = \frac{\partial \Phi}{\partial x} + i \frac{\partial \Psi}{\partial x} = \frac{\partial W}{\partial z}, \quad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial W}{\partial y}, \quad \frac{\partial W}{\partial z} = i \frac{\partial \Psi}{\partial y}$$

よって

$$\frac{dW}{dz} = u – iv$$

$W$を$z$で微分すれば、二つの速度成分がわかる。