航空宇宙工学を専攻する東大院生が，流体力学の要点・エッセンスをご紹介するシリーズ！
流体力学を学び始めた学部生や社会人の方にとって，いきなり専門書はちょっと・・というケースは多々あるかと思います．学問においては，概観をしっかりつかんでおくのが何より重要だと思っています．筆者がこれまで実際に学習を進めてきた中でここは！という要点をギュッと詰めました．ただし数式はでてきます！笑 サクッとしているがきちんと流体を知りたい方におすすめです．
今回はかの有名なベルヌーイの式です．
第２, 3弾は，こちら
公式だから覚えてしまえ．は悪しき教育の奴隷になってしまっています．こういったシンプルな式は特定の条件下でしか使えません．
それは以下の5つです．
- 非粘性
- 非圧縮
- 定常
- 渦なし
- 物体力が保存力
です．これら全ての仮定が成立するときの流体の運動のエネルギー保存を記述しているのが，ベルヌーイの式であることを念頭においておいてください．
ベルヌーイの式の導出の前に，流体において「加速度」を表現するために重要なことがらについてです．このことは，【流体力学入門】流体粒子の加速度と実質微分【第2弾】でも記載していますので，みてみてください．
加速度とは速度変化の割合のことですが，この速度変化というのは，時間変化と同様に，流れ方向の位置変化によっても生じます．このことを偏微分を用いて記述すると，
$$\Delta V = \frac{\partial V}{\partial t}\Delta t + \frac{\partial V}{\partial s}\Delta s’ $$
これより，
$$\frac{\Delta V}{\Delta t}=\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{\Delta s’}{\Delta t}\frac{\partial V}{\partial s}$$
$\Delta t\rightarrow 0$とすると，
$$\frac{DV}{Dt}=\frac{\partial V}{\partial t}+V\frac{\partial V}{\partial s}$$
これが，実質微分と呼ばれるものです．
ちなみに，このあと用いますが，
$$V\frac{dV}{ds}=\frac{d}{ds}\left(\frac{V^2}{2}\right)$$
です．
さて，ベルヌーイの式を求めていくわけですが，今回，作用する力として，圧力と重力を考えてみます．すると，上図のように記述できます．今回時間変化による加速度の項は存在しない（作用する力は時間に対して一定）ので，したがって，
$$\rho\Delta s\Delta n\frac{d}{ds}\left(\frac{V^2}{2}\right)=-\frac{\partial p}{\partial s}\Delta s\Delta n -\rho\Delta s\Delta n g\cos\theta$$
$$\rho\frac{d}{ds}\left(\frac{V^2}{2}\right)+\frac{dp}{ds}+\rho g\frac{dz}{ds}=0$$
よって，
$$\frac{V^2}{2}+\int\frac{dp}{\rho}+gz=C$$
非圧縮が前提なので，密度が圧力に対して一定とすれば，
$$\frac{V^2}{2}+\frac{p}{\rho}+gz=C$$
を得ます．これが皆さまご存知の，ベルヌーイの式なんですね！Cは積分定数ですのでどこか一点の情報がすべてわかれば，求められますね．ベルヌーイの式を求めた際に，流線（流れの方向）に対して積分している点がとても重要かなと思います．したがって，流れの中のどの点にあっても，保存する量が存在するということを述べているわけです．そして，第一項の速度の項を見ると分かるように，これはエネルギーの総和をとった式なんです．これが，ベルヌーイの式がエネルギー保存だと言われるゆえんです．
今回はここまでです．次回は，連続の式についてです！
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