【流体力学入門】連続の式【第5弾】

今回は,連続の式です.

第4弾は,こちら

【流体力学入門】ベルヌーイの式【第4弾】

連続の式とは,流体が連続的に流れる条件を表していて,すなわち流れが可能かどうかということでもあります.

図の検査体積ABCD内に微小時間$\Delta t$に流入する流体の質量は,

$$\rho u \Delta t\Delta y+\rho v \Delta t\Delta x$$

$$= \left(\rho u\Delta y+\rho v \Delta x\right)\Delta t$$

流出するのは,x方向については,

$$\left(\rho  + \frac{\partial \rho}{\partial x}\Delta x\right)\times\left( u + \frac{\partial u}{\partial x}\Delta x\right)\Delta y\Delta t$$

$$=\left[\rho u + \left(\rho \frac{\partial u}{\partial x}+u\frac{\partial \rho}{\partial x}\right)+o(\Delta x^2)\right]\Delta y\Delta t$$

したがって,$\Delta x$が微小なら

$$=\left(\rho u + \frac{\partial (\rho u)}{\partial x}\right)\Delta y\Delta t$$

とできて,y方向も同様に

$$=\left(\rho v + \frac{\partial (\rho v)}{\partial y}\right)\Delta x\Delta t$$

とかける.

また,密度変化による質量変化は,

$$\rho\Delta x\Delta y+\frac{\partial \rho\Delta x\Delta y}{\partial t}\Delta t – \rho\Delta x\Delta y = \frac{\rho}{\partial t}\Delta x\Delta y\Delta t $$

よって,これらのつりあいを考えて,

$$-\left[\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v)}{\partial y}\right]\Delta x\Delta y\Delta t =\frac{\partial\rho}{\partial t}\Delta x\Delta y\Delta t $$

つまり,

$$\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0$$

を得ます.これこそが,連続の式で,流れている流体はつねにこの条件を満たします.

連続の式はいわば質量保存則です.式そのものを覚えていることも重要ですが,導出から本質を感じていただくことがより重要です.その意味で,これが完全流体ではなく圧縮性流体(こちらも入門シリーズがありますので興味のある方はチェックしてみてください. 【圧縮性流体力学入門】音速とマッハ数【第1弾】

)を対象としていても適用できる(一般性を失っていない)表式だとお分かりいただけると思います.

通常の流体力学では,密度変化を考えることはないため,密度は時間・位置に依存せず,

$$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0$$

と書き直せることがわかります.こちらの方が,馴染み深い書き方ですね.

今回はここまでです.次回は,流れ関数のお話です!

 

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