【流体力学入門】非粘性流体の運動方程式の導出【第3弾】

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【流体力学入門】流体粒子の加速度と実質微分【第2弾】
前回の記事 この記事は,大学教養の微分積分学における「偏微分」,「全微分」,「テイラー展開」の知識がある方を前提にしています. 基礎方程式を導出する前に,流体力学特有で,基礎的な概念である「実質微分」につ...

はいどうもみなさんこんにちは.

オイラーの式ありすぎ.

よろしくおねがいします.

非粘性流体の運動方程式の導出

流体粒子に作用する圧力

ニュートンの第2法則である,(質量と加速度の積がかかる力に等しい)を流体粒子に適用することを考えます.

x方向についてのみ考えると,質量と加速度の積は,

    \begin{eqnarray*}\left(\rho\Delta x\Delta y\Delta z\right)a_x = \rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z} \right)\Delta x\Delta y\Delta z\end{eqnarray*}

ここで加速度項のa_xは,a_x = \frac{D u}{D t}で, u の実質微分で,x方向の速度uの,時間t, x, y, z の4つのパラメータそれぞれに対しての変化量を計算する(全微分)を表しています.

次に,作用する力を考えると,

圧力:

    \begin{eqnarray*}p\Delta y\Delta z-\left(p+\frac{\partial p}{\partial x}\Delta x right)\Delta y\Delta z=-\frac{\partial p}{\partial x}\Delta x\Delta y\Delta z \end{eqnarray*}

体積力:

    \begin{eqnarray*}\rho\Delta x\Delta y\Delta zX = \rho X \Delta x\Delta y\Delta z\end{eqnarray*}

となります.

よって,運動方程式は,

    \begin{eqnarray*}\rho\left( \frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}right)=-\frac{\partial p}{\partial x} +\rhoX\end{eqnarray*}

y,\ z方向も同様に求まるので,ベクトル形式に書き直すと,

    \begin{eqnarray*}\rho\frac{D u}{D t}=-\nabla p+\rho {\bf f}\end{eqnarray*}

とかけます.これが,流体力学における運動方程式で,オイラー方程式と呼ばれています.

今回はこの辺で.

 

 

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