非粘性流体の運動方程式の導出

ニュートンの第２法則である，（質量と加速度の積がかかる力に等しい）を流体粒子に適用することを考えます．

$x$ 方向についてのみ考えると，質量と加速度の積は，

$\begin{eqnarray*}\left(\rho\Delta x\Delta y\Delta z\right)a_x = \rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z} \right)\Delta x\Delta y\Delta z\end{eqnarray*}$

ここで加速度項の $a_x$ は， $a_x = \frac{D u}{D t}$ で， $u$ の実質微分で，x方向の速度 $u$ の，時間 $t$ , $x, y, z$ の4つのパラメータそれぞれに対しての変化量を計算する（全微分）を表しています．

次に，作用する力を考えると，

圧力:

$\begin{eqnarray*}p\Delta y\Delta z-\left(p+\frac{\partial p}{\partial x}\Delta x right)\Delta y\Delta z=-\frac{\partial p}{\partial x}\Delta x\Delta y\Delta z \end{eqnarray*}$

体積力:

$\begin{eqnarray*}\rho\Delta x\Delta y\Delta zX = \rho X \Delta x\Delta y\Delta z\end{eqnarray*}$

となります．

よって，運動方程式は，

$\begin{eqnarray*}\rho\left( \frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}right)=-\frac{\partial p}{\partial x} +\rhoX\end{eqnarray*}$