k-means法の理論

k-means法は，データクラスタリング（分類）に使用される非常に一般的なアルゴリズムです．データポイントをいくつかのグループ（クラスタ）に分けるために用いられます．以下にk-means法の基本的な概念と手順を説明します．

基本的な概念

k-means法は，次のように機能します：

1. 初期化：k個のクラスタ中心（セントロイド）をランダムに選択します．kはクラスタの数で，事前に決定されます．
2. 割り当て：各データポイントを，最も近いセントロイドに割り当てます．これにより，データポイントはk個のクラスタに分けられます．
3. 更新：各クラスタのセントロイドを，そのクラスタ内のデータポイントの平均位置に更新します．
4. 反復：割り当てと更新のステップを繰り返します．セントロイドが収束（変化しなくなる）するか，指定された回数の反復が完了するまで続けます．

計算手順

1. 初期のクラスタ中心を選択：k個の初期セントロイドをランダムに選びます．
2. 各データポイントを最も近いセントロイドに割り当てる：距離（通常はユークリッド距離）を計算し，最も近いセントロイドにデータポイントを割り当てます．
3. セントロイドを再計算：各クラスタのデータポイントの平均位置を新しいセントロイドとして計算します．
4. 割り当てと再計算を繰り返す：セントロイドが安定するまで，または指定された反復回数までステップ2と3を繰り返します．

特徴

• シンプルで理解しやすい：k-meansは実装が容易で，直感的に理解しやすいです．
• 計算コストが低い：他のクラスタリングアルゴリズムに比べて計算時間が短く済むことが多いです．
• 適用範囲が広い：画像処理，顧客セグメンテーション，パターン認識など，様々な分野で利用されています．

注意点

• クラスタ数の指定：k-meansでは事前にクラスタの数kを指定する必要があります．適切なkを選ぶことが結果の質に大きく影響します．
• 初期セントロイドの影響：初期セントロイドの選び方により，結果が異なる場合があります．異なる初期値を使用して複数回実行し，最良の結果を選ぶのが一般的です．
• 異常値やスケールの影響：データのスケールや異常値がクラスタリング結果に大きな影響を与えることがあります．事前のデータ標準化や異常値の処理が重要です．

k-means++

k-meansで，初期セントロイドの選び方で，結果のムラがある課題を解決するため，複数の中心点の初期位置同士が近くの位置にならないように設定したk-meansの改良版．

初期位置の計算に重み付き確率分布を使用．
$$\begin{eqnarray*}\frac{D(x)^2}{\sum D(x)^2}\end{eqnarray*}$$