【軌道力学入門】二体問題における保存量【第2弾】

学習広場

2019.08.232024.06.04

航空宇宙工学を専攻する東大院生が，軌道力学の要点・エッセンスをご紹介するシリーズの第２弾！軌道力学を学び始めた方にとって，専門書はハードルが高いですよね・・筆者がこれまで実際に学習した中でここは！という要点をギュッと詰めました．サクッと，でもきちんと学びたい方必見です．

さて今回は第２弾です．

第1弾はこちら．

【軌道力学入門】二体問題の基本方程式、軌道要素【第1弾】

この分野，非常にニッチなこともあって，意外とネットで気軽に学習ができるようなサイト・ページがありません．航空宇宙系の院試を受けようとしている方，学部生で軌道力学，宇宙航行力学を学ぼうと考えている人が，本などを見ずとも，さ...

二体問題においては，保存量が存在します．

ひとつは，力学的エネルギー，もうひとつは，角運動量です．

二体問題の支配方程式は以下でした．

$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{\ddot{r}}+\frac{\mu}{r^3}\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}\end{eqnarray*}$

$\overrightarrow{r}$ が，中心天体に対する周回天体の位置ベクトル， $r$ はその大きさすなわち距離です． $\mu$ は，中心天体を中心とする重力定数で，中心天体の質量と万有引力定数の積で表されます．地球が中心なら，地心重力定数なんてよんだりします．ちなみに， $\mu_{earth} = 3.986004418\times 10^{14} $m^3$/$s^2$$ 程度です．

さて，この式を用いて，保存量を見つけ出しましょう．

Contents

1 力学的エネルギーの保存
2 角運動量保存
3 まとめ

力学的エネルギーの保存

ではまず，天下り的ですが， $\overrightarrow{\dot{r}}$ を，両辺に内積的に掛け算します．

$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{\dot{r}}\cdot\overrightarrow{\ddot{r}}+\frac{\mu}{r^3}\overrightarrow{\dot{r}}\cdot\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}\end{eqnarray*}$

ここで， $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{\dot{a}}=a\dot{a}$ となることを利用します．

（この式が成り立つのは， $a=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$ の微分が，

$\begin{eqnarray*}\dot{a}&=&\frac{a_x \dot{a_x}+a_y \dot{a_y}+a_z \dot{a_z}}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}\\&=&\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{\dot{a}}}{a}\end{eqnarray*}$

となることより明らかです．）

$\begin{eqnarray*}\dot{r}\ddot{r}+\frac{\mu}{r^2}\dot{r}=0\end{eqnarray*}$

このようにかけます．

さらにここで，

$\begin{eqnarray*}\frac{d}{dt}\left(a^2\right)=2a\dot{a}\end{eqnarray*}$

であったことと，

$\begin{eqnarray*}\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{a}\right)=-\frac{\dot{a}}{a^2}\end{eqnarray*}$

を考えると，

$\begin{eqnarray*}\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\dot{r}^2-\frac{\mu}{r}\right)=0\end{eqnarray*}$

を得ます．

さて， $\dot{r}=v$ としましょう．

上式はつまり，カッコ内が時間変化に対して一定，すなわち定数であることを表しているので，

$\begin{eqnarray*}\frac{1}{2}v^2-\frac{\mu}{r}=C\end{eqnarray*}$

となって，これが，力学的エネルギーの保存を表しています．別の流儀では，以下のように書き表すことも多いです．

$\begin{eqnarray*}v^2-\frac{2\mu}{r}=C\end{eqnarray*}$

角運動量保存

続いて，今度は， $\overrightarrow{r}$ を，両辺に外積的に掛け算します．

すると

$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{r}\times\overrightarrow{\ddot{r}}+\frac{\mu}{r^3}\overrightarrow{r}\times\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}\end{eqnarray*}$

となります．

同じベクトルの外積は定義上０ベクトルなので，

$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{r}\times\overrightarrow{\ddot{r}}=\overrightarrow{0}\end{eqnarray*}$

となります．

ここで，

$\begin{eqnarray*}\frac{d}{dt}\left(\overrightarrow{r}\times\overrightarrow{\dot{r}}\right)=\overrightarrow{\dot{r}}\times\overrightarrow{\dot{r}}+\overrightarrow{r}\times\overrightarrow{\dot{r}}\end{eqnarray*}$